Управление - относится к математической теории управления движением технической системы.

Необходимо написать алгоритм, по которому некоторая система управляется с помощью энергетического воздействия, например : летательный аппарат управляется с помощью рулевой машины. Оказывается создать управление это не очень сложно и это можно сделать интуитивно. Однако создать оптимальное управление чрезвычайно сложно.

Теория оптимизации - это наука о наилучших алгоритмах (управления) созданных по некоторому критерию качества

Критерий качества - создание (абстрактное) некоторой функции риска, которая должна быть в процессе оптимизации минимизированна (экстремальная задача).

Управление бывает оптимальным и квазиоптимальным.

Оптимальное - на бумаге,

Квазиоптимальное - реальное, стремится к идеальному.

 

Управление бывает :

 

1) Программное

2) С помощью отрицательной обратной связи

 

 

Программное управление –

требуется создать программу, которая дает оптимальную траекторию (заложена в ЭВМ) движения некоторой системы.

 

Пример 1 : Перевод летательного аппарата из точки А в

точку В.

Критерий - минимизировать расход горючего.

Для реализации такой задачи создано две системы - Novstar

(США) и Глонасс (Россия), стоимость их очень высока.

 

Пример 2 : Надо создать такую траекторию, чтобы шарик скатился из точки ‘А' в точку ‘В' за минимальное время.

А

А - Оптимальная

В В траектория

 

 

 

Управление с помощью отрицательной обратной связи

 

Отрицательной обратной связью - называется передача энергии с выхода на вход некоторой управляемой системой

вх + Система вых

обратная связь

Бывает два вида обратной связи : Положительная ОС и отрицательная ОС.

 

Отрицательная ОС уменьшает входное воздействие на систему пропорционально выходному отклику (демпфирует систему в целом).

 

Автоматика - наука изучающая теорию анализа и синтеза

систем управления (корректировка движения, оптимизация переходных процессов) и создание оптимального управления.

 

Радиоавтоматика - наука, изучающая вопросы управления

движением радиотехнических систем.

 

Структурная схема системы радиоуправления :

 

 

 

Радио- ¾¾® Устройство ¾-¾® Объект ¾® Датчик

приемник Управления Управления

ООС

 

Радиоприемное устройство - устройство выделения сигнала

по некоторому радиоканалу.

Особенность выделения сигнала состоит в том, что сигнал выделяется на фоне внутренних шумов и помех.

 

Внутренние шумы - тепловые шумы, которые всегда имеют

место в радиоприемном устройстве.

 

Таким образом в радиоавтоматике случайные процессы изучаются особо (шум, помеха, сама траектория движения)

 

Устройство управления - как правило - вычислительная сис-

тема с приводом и энергетической

установкой.

 

Привод - преобразователь механических колебаний в элек-

трические.

 

Объект управления - некоторая динамическая система.

 

Динамическая система - система, которая описывается ли-

нейными и нелинейными дифферен-

циальными уравнениями высокого

порядка.

 

Датчик - устройство, которое измеряет положение летатель-

ного аппарата в пространстве.

Глава 1 Стохастическое управление

 

В случае стохастического управления, управляемые процессы являются случайными (стохастическими). Начальная точка управления А и конечная В не известны. В этом случае сам

управляемый процесс описывается стохастическими уравнени-

ями, которые, как правило, апроксимируются марковскими процессами.

 

Примеры систем автоматического управления

 

Системы автоматического управления можно описать прибли-

женно используя линейные или нелинейные дифференциальные

уравнения (детерминированный подход без учета шумов).Это

было до 60х годов: все подходы были стохастические линейные и нелинейные дифференциальные уравнения.

 

Пример 1 (детерминированный)

 

Управление движением космического аппарата в грави-

тационном поле земли (задача двух тел).

 

В геоцентрической системе координат

Z r - расстояние от центра земли

З - центр земли (вся ее масса)

К.А.

r К.А. - космический аппарат

X На космический аппарат действует

З притяжение :

Y F2 ;

К.А. F2 - управляющая сила

F3 - сопротивление среды

;

Третий закон Ньютона :

F3 F1

Если это уравнение спроектировать на оси ко-

ординат, то получим следующие три уравнения :

 

 

 

(1)

 

 

(1)- система линейных дифференциальных уравнений 2-го по-

рядка, которая описывает движение космического аппа-

рата.

Силы U1,U2,U3 - силы управления.

 

{x(t),y(t),z(t)} r(t) - траектория

 

Оказывается, что в зависимости от начальных условий и па-

раметров K1,K2,K3 траектория r(t) может быть круговая,

эллипсоидная, параболическая.

 

 

Пример 2 : Нелинейная система. Описывается нелинейным дифференциальным уравнением.

 

Генератор колебаний :

Можно показать, что процесс

x(t) описывается дифферен-

x(t) циальным уравнением 2-го

M порядка с нелинейным

членом .

R

C L L

C Если емкость варьировать,

то может стать ну-

лем и тогда мы получим си-

нусоидальное колебание:

x(t)=a sin(wt+j)

(автоколебания)

Если - положительно, то амплитуда колебаний увели-

чивается с течением времени.

Если - отрицательно - амплитуда колебаний уменьша-

ется с течением времени до нуля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2

Математическое описание систем (детерминированная терия) (идеальный случай)

 

Линейные системы, которые описываются дифференциальными

уравнениями называются динамическими системами.

Если система описывается алгебраическими уравнениями -

- это описание состояния равновесия (статические системы)

По определению

(1)

 

(1)- линейное дифференциальное уравнение n-го порядка.

Правая часть - это дифференциальное уравнение воз-

действия. Если Ly=0 (2) ,то Ly=Px.

 

(2)- однородное дифференциальное уравнение - описывает

линейные динамические системы без воздействия на

них. Например колебательный контур.

Правая часть уравнения (1) описывает воздействие на ли-

нейную систему или называется управлением.

 

Ly=x - управление.

Если есть часть Px - то это сложное управление, учитыва-

ющее скорость, ускорение.

 

Передаточная функция линейной системы

 

От дифференциального уравнения (1) можно перейти к линей-

ной системе, т.е. к некоторому четырехполюснику.

 

Вх W(p) Вых

 

Этот четырехполюсник можно создать на элементной базе или

смоделировать на ЭВМ.

От дифференциального уравнения (1) к W(p) можно перейти

двумя путями - используя символический метод и 2-е прео-

бразование Лапласа.

Сивмолический метод Хиви Сайда.

Применив символический метод к (1) получим :

 

 

(3)

Формула (3) представляет собой отношение двух полиномов -

описание передаточной функции.

 

 

Использование преобразования Лапласа

 

 

- преобразование Лапласа, p=jw

Если мы применим преобразование Лапласа к левой части (1)

и учитывая, что , получим :

 

(4)

 

X(p) Y(p)

W(p)

 

 

Если правая часть передаточной функции простейшая -

, то воздействие обычное. Передаточ-

ная функция будет иметь вид :

(5) , где знамена-

тель дроби есть характеристическое уравне-

ние.

 

Пример : Дифференциальное уравнение 2-го порядка описы-

вается передаточной функцией :

 

(6)

Для нахождения решения дифференциального уравнения снача-

ла необходимо решить следующее уравнение :

Известно, что дифференциальное уравнение 2-го порядка

имеет решение в виде комплексной экспоненты или действий

над ней. (Это зависит от корней характеристического урав-

нения). Если корни комплексные, тогда решение будет :

(7) wt+wt)

 

Если корни ±a + jw решение будет (7)¢

 

(7) и (7)' - решение в виде нарастающей или затухающей синусоиды, либо обычной синусоиды, если a=0.

 

 

Устойчивость линейных систем

 

Линейная система полностью описывается передаточной функ-

цией, которая представляет собой :

в комплескной плоскости

p=s+jw . Эти полиномы получены из дифференциальных урав-

нений путем преобразования Лапласа.

Ставится проблема: как исследовать систему с помощью W(p)

Оказывается, что это проще сделать чем исследовать диффе-

ренциальные уравнения. Исследование по W(p) производится с помощью анализа полюсов и нулей.

 

Полюсом называется то значение корня уравнения в знаменателе, при котором Q(p)=0.

 

Количество корней определяется степенью полинома. Если

корни комплексно-сопряженные, то в точке, где Q()=0,

W(p)=¥ - полюс.

 

Нулями W(p) называются точки на комплексной плоскости,

где полином P(p)=0.

Количество нулей определяется порядком поли-

нома.

jw

s > 0 полюсы

сопряж. пара ®

s > 0

 

 

 

 

- полюсы (корни характеристического урав-

нения). Если корни комплексные, то они сопряженные.

 

Выводы :

1. Если корни характеристического уравнения Q(p)

находятся в левой полуплоскости , то система ус-

тойчива. (wt+j) - решение для комплексных

корней.

2. Если s >0 , то решение будет (wt+j).

Система неустойчива.

 

Расположение нулей определяет корректирующие свойства системы, т.е. оказывают воздействие на переходной процесс

Если нули в левой полуплоскости, то такая система называется минимально фазовой.

Если нули в правой полуплоскости - нелинейно фазовая

система.

Если полюсы на мнимой оси, т.е. s=0, то система нахо-

дится в колебательном режиме (Система без потерь).

Передаточная функция линейной системы на мнимой оси

 

В этом случае после преобразований получим:

W(jw)=A(w)+jB(w) -

Передаточная функция есть комплексное число.

Замечание: Не путать с корнями на мнимой оси.

 

Оказывается очень удобно исследовать W(jw)на мнимой оси не с помощью нулей и полюсов, а с использованием комплек-

сной передаточной функции.

 

Комплексная функция :

АЧХ - четная функция:

ФЧХ - нечетная функция:

 

 

АЧХ

 

ФЧХ

 

 

 

АЧХ показывает селективность системы по

амплитудному спектру.

ФЧХ показывает - какой сдвиг фаз получает на

выходе фильтра каждая гармоника.

 

Замечание: Известно, что спектр сигнала (по

Фурье) удобно представлять в ком-

плексной виде, т.е. у спектра есть АЧХ (рас-

пределение гармоник по амплитуде от частоты), и ФЧХ (рас-

пределение фаз).

 

Выводы: Комплексное представление спектра или передаточ-

ной функции W(p) очень удобно радиотехнике. Это

позволяет компактно записать АЧХ и ФЧХ.

 

 

Передаточная функция систем радиоавтоматики

 

1)

вх ¼¼ вых

 

Передаточная функция последовательно соединенных звень-

ев :

 

2)

Передаточная функция парал-

лельно соединенных звеньев:

вх вых

: :

: :

: :

3) y(t) Передаточная функция системы

x(t) ¾Ä¾¾¾ ¾¾¾¾ с обратной связью:

 

Типовые звенья радиоавтоматики

 

 

1) Инерционное звено

Передаточная функция :

C

вх R вых ;

 

W(w) АЧХ

 

K

 

j (w)= - arctgTw ФЧХ

 

0 w

 

 

-45°

 

 

 

-90°

 

 

 

 

2) Интегрирующее звено

Передаточная функция :

W(w) АЧХ W(p)=

 

; ФЧХ :

 

 

 

0 w

 

3) Дифференцирующее звено

C

R

 

R L

 

 

 

W(w) АЧХ Передаточная функция :

 

W(p)=Kp

АЧХ: W(w)=Kw

ФЧХ: j(w)=

0 w

 

 

 

 

 

 

 

4) Форсирующее звено

W(w) АЧХ

Передаточная функция:

K АЧХ :

w ФЧХ :

0

j (w)

 

 

0 w

 

5) Запаздывающее звено

 

АЧХ: =1 Передаточная функция :

ФЧХ: j(w)=wt