2.1. Шар и шаровая поверхность.

Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространст­ва, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстоя­ние R (радиус). Все пространство по отношению к данной ша­ровой поверхности разбивается на внут­реннюю область (куда можно присоеди­нить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей назы­вается шаром. Итак, шар — геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстоя­ние, не превышающее данной величины R (радиуса). Шаровая поверхность яв­ляется границей, отделяющей шар от ок­ружающего пространства.

Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.

Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R (рис. 1), лежащую в плоско­сти Я. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою оче­редь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку М₀—проекцию вращающейся точки М на ось враще­ния АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вра­щения, и потому точка М все время будет находиться на сфе­рической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.

Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.

2.2. Взаимное расположение шара и плоскости.

Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоско­сти. Для этого, имея некоторый шар и плоскость , опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра М₀ окажется вне шара (рис. 2), то остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра. В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой поверхности (рис. 3), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с

поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

Действительно, если плоскость имеет с поверхностью шара един­ственную общую течку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точ­ками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.

Если, наконец, основание пер­пендикуляра М₀ окажется внут­ри шара (рис. 4), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть — вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверх­ностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно d, d<R. Тогда оказывается, что линия пересечения плоскости с поверх­ностью шара является окружностью с центром в точке М₀ и радиусом, равным . Для доказательства проведем через М₀ произвольный луч М₀М, лежащий в секущей пло­скости. Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он пересечет поверхность шара в некоторой точке М. Рассмотрим треугольник ОМ₀М с прямым углом при вершине М₀. Катет М₀М по теореме Пифагора будет равен . Впрочем, постоянство длины отрезка независимо от направления луча М₀М в данной плоскости видно и без применения теоремы Пифагора (пользуемся равенством прямоугольных треугольников, имеющих общие катеты и равные гипотенузы). Теперь видно, что все точ­ки пересечения плоскости , с поверхностью шара лежат на од­ной окружности с центром М₀ и радиусом, равным . Напротив, любая точка этой окружности удалена от центра шара на расстояние, равное , и потому лежит на поверхности шара (равно как и в плоскости ) и, значит, принадлежит рассматриваемой линии пересечения. Из этого видно, что линия пересечения - полная окружность, а не какая-либо часть ее.

Итак, если длина перпендикуляра, опущенного из центра О шара радиуса R на данную плоскость, равна d, то:

1)      при d>R плоскость не пересекает шара;

2)      при d = R плоскость касается шара в одной точке, радиус,
проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости;

3)      при d<R плоскость пересекает шар по окружности, цент­
ром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из

центра шара на плоскость, а радиус равен .

В частности, плоскость, проходящая через центр шара, пере­секает его по окружности максимально возможного радиуса, равного радиусу шара R. Такие сечения шара плоскостями, про­ходящими через его центр, называются большими кругами шара.

Для наглядности вышеизложенного материала я предлагаю решить две небольшие задачи.

Задача 1. Два сечения шара радиуса 10 см параллельны­ми плоскостями имеют радиусы, равные 6 еж и 8 см. Найти расстояние между секущими плоскостями.

Решение. Находим расстояние каждой из параллельных плоскостей до центра шара:

в зависимости от того, лежит ли центр шара между плоскостями или нет, получаем два различных ответа к задаче:

Задача 2. Расстояние между центрами двух шаров равно d; радиусы их R₁ и R₂. Найти радиус окружности, по которой они пересекаются.

Решение. Искомый радиус служит высотой треугольника OMO₁ (рис. 5). Площадь S треугольника ОМО₂ находится по трем сторонам 00₁ = d, R₁ R₂ и искомый радиус равен r=2S/d. Прямая линия также может занимать по отношению к шару три существенно различных положения. Именно, она может пе­ресечь поверхность шара в двух различных точках, не пересе­кать ее или иметь с ней одну общую точку. В последнем слу­чае она будет называться касатель­ной к шару.

 

2.3. Принцип Кавальери. Нахождение объёма шара с помощью принципа Кавальери.

В Европе XVII-ХVIII веков и, прежде всего, в экономически развитых государствах, укреплялся новый общественный строй - капитализм. Составной частью этого процесса была техническая революция - переход от мануфактурной промышленности к фабричной и, как следствие, серия изобретений, среди которых - создание паровой машины. Стремительное развитие математики в эту эпоху было обусловлено также усовершенствованием машин для предприятий, изобретением огнестрельного оружия и книгопечатания, постройкой судов для океанского плавания. Возникла необходимость теоретического и научного изучения движения, изменения вообще.

Открытия в астрономии, связанные с именами Н. Коперника и И. Кеплера, позволили по-новому взглянуть на место человека во Вселенной и его умение рациональным образом объяснить астрономические явления. Законы небесной механики дали возможность дополнить законы Земли.

И. Кеплер практически всю свою жизнь посвятил изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической системы Коперника. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в 1609-1619 гг. открыл три закона движения планет, носящие его имя, среди которых закон, связанный с площадью сектора.

Задача вычисления секториальных площадей требовала умения пользоваться бесконечно малыми величинами. Этих знаний недоставало и для решения других задач практического характера. Круг, в представлении Кеплера, состоял из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а шар - из бесконечно большого числа утончающихся пирамид с вершинами в его центре. Книга ученого «Стереометрия винных бочек» (1615 г.) произвела большое впечатление на читателей, так как в ней был описан доступный метод определения объема 93 различных тел вращения (бочек). Каждому из них он дал оригинальное название: лимон, груша, чалма и т. п. Кеплер заменял неизвестный объем известным путем деления данного тела на сколь угодно малые части и образования из них нового тела (быть может, путем деформации), объем которого можно найти. Доказательства были нестрогими, и это вызывало много споров у математиков. Как видим, Кеплер получил новый результат весьма простым приемом. «Стереометрия винных бочек» - первая работа того времени, вводящая в геометрию бесконечно малые величины и принципы интегрального исчисления, хотя, как говорил сам ученый во введении к этой книге, поводом и целью написания труда первоначально явился частный и практический вопрос об измерении объема винных бочек с помощью одного промера их поперечной длины. Интерес математиков сосредотачивался главным образом на общих принципах определения объемов тел вращения с помощью бесконечно малых величин.

Среди таких математиков был итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598-1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых». Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе, зато у Кавальери в 1635 г. вышла книга «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин». При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например, разрезать на части и составлять новые (так называемые равносоставленные фигуры). Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами. Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев - «неделимых» или «нитей» и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения. Например, на основе этого принципа легко получается равновеликость треугольников с равными основаниями и высотами.

Одно из самых удивительных применений принципа Кавальери принадлежит французскому математику Ж. Робервалю (1602-1675), который нашел площадь сегмента, ограниченного одной аркой циклоиды.

Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной.

Однако интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Но поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому.

Видный советский ученый, историк математики, профессор Д. Д. Мордухай-Болтовский (1876—1952), которому принадле­жит самый совершенный русский перевод «Начал» Евклида с об­стоятельными комментариями, дал интересный вывод формулы объема шара на основе принципа Кавальери.

Вот это доказатель­ство.

Поместим между двумя парал­лельными плоскостями полусфе­ру АВС и цилиндр A'B'C'D' (рис. 6) с основанием того же радиуса R, что и шар, и с высо­той, равной радиусу, с входящим в него конусом C'D'O', который имеет своим основанием верхнее основание цилиндра, а верши­ной — центр нижнего основания.

На основании принципа Кавальери мы вправе сделать за­ключение, что объем шара равен объему тела, получаемого вырезыванием конуса из цилиндра. В самом деле, легко видеть, что круг ab, полученный в сечении сферы плоскостью , равновелик с кольцом a'c'd'b', получаемым в сечении вышеуказанного тела той же самой плоскостью. Действительно, на основании теоремы Пифагора в полусфере

, где , (2.3.1)

и, следовательно, площадь сечения ab равна

; (2.3.2)

с другой стороны, площадь круга а'b'

(2.3.3)

а так как, очевидно, радиус круга c'd' равен k, то площадь круга c'd'

(2.3.4)

Следовательно, площадь кольца a'c'd'b' равна

(2.3.5)

Замечая далее, что объем цилиндра равен , а объем конуса , мы получаем для объема полусферы величину , а для объема всей сферы

(2.3.6)

2.4. Интегральное исчисление. Понятие интеграла.

Мы с вами познакомились с принципом Кавальери, который довольно близок к другому методу нахождения объёмов тел – методу интегрирования. Этот метод основывается, как уже можно было догадаться, на интегральном исчислении.

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести.

В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке в работах Кавальери, Торричелли, Ферма, Паскаля и других ученых. В 1659 г. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. Ньютон и Лейбниц в 70-х годах 17-го века отвлекли эту связь от упомянутых частных геометрических задач. Тем самым была установлена связь между интегральным и дифференциальным исчисле­нием.

Эта связь была использована Ньютоном, Лейбницем и их учениками для развития техники интегрирования. Своего нынешнего состояния методы интегрирования в основном достигли в работах Л. Эйлера. Труды М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева завершили развитие этих методов.

С моей точки зрения будет полезно ввести понятие интеграла, так как для рассмотрения такого вопроса, как объём тела, не только шара или сферы, очень часто используется интеграл.

Понятие об интеграле.

Пусть линия MN (рис.7) дана уравнением

,

и надо найти площадь «криволинейной трапеции» aABb.

Разделим отрезок ab на n частей (равных или неравных) и построим ступенчатую фигуру, показанную штриховкой на рис.7. Её площадь равна

(2.4.1)

Если ввести обозначения

(2.4.2)

то формула 1 имеет вид

(2.4.3)

Искомая площадь есть предел суммы (3) при бесконечно большём n. Лейбниц ввел для этого предела обозначение

(2.4.4)

в котором (курсивное s) — началь­ная буква слова summa (сумма), а вы­ражение уdx указывает типичную форму отдельных слагаемых.

Выражение Лейбниц стал называть интегралом — от латин­ского слова integralis — целостный») Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, при­дав ему вид

(2.4.5)

Здесь явно указаны начальное и конечное значения x. Теперь понятно, что интеграл используется для того, чтобы освободить нас от некоторых громоздких вычислений (порой, как в данном примере, весьма и весьма однообразных, а также требующих огромного внимания, т.к. даже малейшая неточность может повлечь за собой существенные расхождения с правильным ответом), а так же по ряду других причин, углубляться в которые сейчас нет никакого смысла.

 

2.5. Вычисление объёмов тел с помощью интеграла.

Рассмотрим способ вычисления объемов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и на­чал анализа.

Пусть тело Т, объем которого нужно вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями и (рис. 8). Вве­дем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикуляр­на к плоскостям и , и обозначим буквами а и Ь абсциссы точек пересечения оси Ох с этими плоскостями (а<b). Будем счи­тать, что тело таково, что его сечение Ф(х) плоскостью, прохо­дящей через точку с абсциссой х и перпендикулярной к оси Ох, является либо кругом, либо многоугольником для любого (при х = а и х = b сечение может вырождаться в точку, как, например, (при х=а на рисунке 8). Обозначим площадь фигуры Ф(х) через S(х) и предположим, что S(х) — непрерыв­ная функция на числовом отрезке [а; b]. Разобьем числовой отрезок [а;b] на п равных отрезков точ­ками и через точки с абсциссами про­ведем плоскости,

перпендикулярные к оси Ох (рис. 9). Эти плос­кости разбивают тело Т на п тел: . Если сечение — круг, то объем тела (заштрихованного на рисунке 9) приближенно равен объему цилиндра с основанием и высотой . Если — многоугольник, то объем тела приближенно равен объему прямой призмы с основанием и высотой . И в том и в другом случае объем тела приближенно равен , а объем V всего тела T можно при­ближенно вычислить по формуле

(2.5.1)

Приближенное значение объема тела Т тем точнее, чем больше п и, следовательно, меньше . Примем без доказательства, что равен объему тела, т.е. . С другой стороны,

сумма V_n является интегральной суммой для непрерывной функции S(х) на числовом отрезке [а;b], поэтому