Рамануджан и число пи  

Около 75 лет назад гениальный индийский математик придумал невероятно эффективные способы вычисления числа p . Созданные сейчас на той же основе алгоритмы для компьютеров позволяют найти миллионы десятичных знаков числа p

ЧИСЛО p - отношение длины окружности к ее диаметру — в 1987 г. было вычислено с беспрецедентной точностью: более ста миллионов десятичных знаков. Этот год ознаменовался также столетием со дня рождения Сринивасы Рамануджана — гениального индийского математика, который большую часть своей недолгой и загадочной жизни был оторван от остального математического мира. Эти два события тесно связаны между собой, ибо самые недавние методы вычисления p предвосхищены Рамануджаном, хотя для их реализации пришлось подождать, пока будут разработаны (многими специалистами, в том числе нами) эффективные алгоритмы, новейшие суперкомпьютеры и нетрадиционные методы умножения чисел.

Тяга к вычислению p с миллионами десятичных знаков может показаться довольно бессмысленной, а само это занятие — лишь ареной для установления рекордов. Действительно, уже 39 знаков тг достаточно для вычисления окружности, опоясывающей наблюдаемую Вселенную, с погрешностью, не превышающей радиуса атома водорода. Трудно вообразить физические ситуации, которые потребовали бы большей точности. Почему же математики и вычислители не удовлетворятся, скажем, 50 знаками p?

Этому есть несколько причин. Во-первых, вычисление p стало чем-то вроде эталона: по нему оценивается совершенство и надежность применяемого компьютера. Вдобавок погоня за все более точным значением тг позволяет математикам проникнуть в таинственные и малодоступные закоулки теории чисел. Другая, более простая причина — “потому что оно всегда с нами”. И в самом деле, p является неотъемлемой частью математической культуры вот уже более двух с половиной тысячелетий.

Кроме того, всегда есть шанс, что такие вычисления прольют свет на некоторые загадки, связанные с p. Ведь эта универсальная постоянная, несмотря на сравнительно простую природу, не так уж хорошо понята. Например, хотя и доказано, что нельзя вычислить точное значение тг путем применения к целым положительным числам какой бы то ни было комбинации сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня (т. е. что p - трансцендентное иррациональное число. — Перев.), никому еще не удалось доказать, что десятичные знаки тг распределены случайно, т. е. каждая цифра от 0 до 9 появляется с одинаковой частотой. Возможно, хотя и в высшей степени маловероятно, что, начиная с какого-то места, все остальные знаки тг состоят только из 0 и 1 или проявляют какую-то другую закономерность. Более того,число тг внезапно появляется в самых неожиданных задачах, не имеющих никакого отношения к окружностям. Так, допустим, что из множества целых чисел наугад выбирается какое-то число. Тогда вероятность того, что оно не имеет повторяющихся (кратных) простых делителей, равна 6/p 2 . Как и многие другие выдающиеся математики, Рамануджан был пленен волшебной силой этого числа.

ПОСТРОЕННЫЕ недавно алгоритмы для вычисления тг придали новый блеск математическим сокровищам, извлеченным благодаря возрождению интереса к работам Рамануджана. Однако большая часть того, что он сделал, все еще недоступна исследователям. Основные его работы содержатся в “Тетрадях”, где он вел личные записи, пользуясь собственной терминологией и обозначениями. Еще огорчительнее для математиков, изучивших “Тетради” Рамануджана, то, что он обычно не записывал доказательств своих теорем. Расшифровка и редактирование “Тетрадей”, предпринятые Брюсом К. Берндтом из Иллинойсского университета в Эрбана-Шампейн, только сейчас близятся к завершению.

Насколько нам известно, никто и никогда еще не брался за работу по математическому редактированию такого объема и такой трудности. Но усилия неверняка будут вознаграждены. Наследие Рамануджана, содержащееся в “Тетрадях”, обещает не только обогатить чистую математику, но и найти применения в разных областях математической физики. Например, Родни Дж. Бакстер из Австралийского национального университета признает, что открытия Рамануджана помогли ему решить некоторые задачи статистической физики, относящиеся к поведению системы взаимодействующих частиц, рассматриваемых как твердые шарики в гексаго-нальной решетке наподобие медовых сотов. А Карлос Дж. Морено из Университета г. Нью-Йорка и Фримен Дж. Дайсон из Института высших исследований отметил, что физики начинают применять результаты Рамануджана в теории суперструн.

Фигура Рамануджана как математика тем более удивительна, что его формальное образование было весьма ограниченным. Он родился 22 декабря 1887 г. в небогатой семье касты браминов в местечке Эрод на юге Индии и вырос в городке Кумбаконаме, где его отец служил бухгалтером в небольшой текстильной лавке. Его математический талант был замечен очень рано, и в возрасте 7 лет он получил право на стипендию для учебы в средней школе Кумбаконама. Он поражал одноклассников тем, что помнил наизусть сложные математические формулы и много знаков числа p.

В 12 лет Рамануджан изучил обширный труд С. Л. Лоуни “Плоская тригонометрия”, включая рассмотренные там суммы и произведения бесконечных последовательностей, которым суждено было занять важное место в его последующих работах. (Бесконечная последовательность - это не имеющая конца цепочка членов, часто порожденных какой-то простой формулой. В этом контексте интерес представляют последовательности, для которых сумма или произведение их членов принимает конечное значение и его можно найти. Если члены последовательности складываются, полученное выражение называется рядом; если они перемножаются, получается бесконечное произведение.) Через три года Рамануджан достал книгу “Сборник элементарных результатов чистой математики” (Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics), содержащий свыше 6000 теорем (большей частью без доказательств) и составленный преподавателем Кембриджского университета Г.С. Карром. Две эти книги и стали основой математической подготовки Рамануджана.

В 1903 г. Рамануджан был принят в местный колледж [входивший в состав Мадрасского университета. — Перев.}. Однако поглощенный своими математическими изысканиями в ущерб всему остальному, он провалился на экзаменах; то же самое повторилось четыре года спустя в другом колледже в Мадрасе. После женитьбы в 1909 г. Рамануджан на время оставил свое увлечение и попробовал найти работу. К счастью, в 1910 г. по рекомендации многих сочувствующих Рамануджану индийских математиков на него обратил внимание богатый любитель и покровитель математики Р. Рамачандра Рао. Под впечатлением открытий, законспектированных Рамануджаном в его “Тетрадях”, Рамачандра Рао предоставил ему ежемесячное пособие.

В 1912 г., желая все-таки иметь работу, Рамануджан устроился бухгалтером в Трест мадрасского порта, который возглавлял английский инженер Френсис Спринг. Вместе с основателем Индийского математического общества В. Рамасвами Айяром они уговорили Рамануджана сообщить свои результаты трем известным английским математикам. Двое из них, по-видимому, не отозвались. Третьим был Г.Х. Харди из Кембриджского университета, признанный теперь самым выдающимся английским математиком того времени.

ХАРДИ, привыкший к письмам от всякого рода “умников”, получив послание Рамануджана 16 января 1913 г., сначала был склонен его проигнорировать. Однако вечером того же дня он решил вместе с коллегой и близким другом Джоном Э. Литтл-вудом поломать голову над списком из 120 формул и теорем, которые Рамануджан приложил к своему письму. Через несколько часов они “вынесли приговор”: перед ними работа не маньяка, а гения. (По составленной Харди позднее “шкале чистого таланта” для математиков Рамануджан получил 100 баллов, Литтлвуд — 30, а себе Харди поставил 25. Немецкий математик Давид Гильберт, самая влиятельная фигура в математике того времени, заслужил только 80.) Этот эпизод и то, что за ним последовало, по словам Харди, было единственным романтическим событием его жизни. Он писал, что некоторые формулы Рамануджана его совершенно ошеломили, но тем не менее “они, несомненно, верны, ибо если бы они были неверны, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать”.

Харди немедленно пригласил Рамануджана приехать в Кембридж. Но серьезные возражения со стороны матери и собственные колебания задержали его отъезд до марта 1914 г. В течение следующих пяти лет Харди и Рамануджан работали совместно в Тринити-Колледже Кембриджского университета. Сочетание блестящего мастерства Харди-аналитика и фантастической интуиции Рамануджана привело к необычайно плодотворному сотрудничеству. Они опубликовали серию основополагающих работ о свойствах различных теоретико-числовых функций, открывавших путь для ответа на вопросы типа: каково наиболее вероятное число простых делителей у данного целого числа? Сколькими способами можно выразить натуральное число в виде суммы меньших натуральных чисел?

В 1917 г. Рамануджан стал действительным членом Лондонского королевского общества и профессором Кембриджского университета. Впервые индиец был удостоен того и другого звания. Слава его росла, однако здоровье резко ухудшилось в военное время, когда в Великобритании остро ощущалась нехватка продовольствия, трудно было придерживаться вегетарианской диеты, которую он строго соблюдал. Рамануджан не раз попадал в больницу, но поток его новых результатов не иссякал. В 19Г9 г., когда война закончилась и путешествия за границу снова стали безопасными, он вернулся в Индию. Ставший кумиром молодых индийских интеллектуалов 32-летний Рамануджан умер 26 апреля 1920г., как тогда думали, от туберкулеза, но, скорее, как считают теперь, от острого недостатка витаминов. До конца преданный математике Рамануджан и в последние месяцы жизни, измученный болезнью, продолжал свой труд и создал замечательную работу, записанную в его так называемой “Потерянной тетради”.

РЕЗУЛЬТАТЫ Рамануджана, касающиеся числа т г, связаны большей частью с его исследованиями модулярных уравнений — темы, наиболее подробно раскрытой в “Тетрадях”. Грубо говоря, модулярное уравнение — это алгебраическое соотнош е ни е м е жду функци е й от н е которой переменной л " , т. е. в математических обозначениях/ (х), и той же функцией от переме нн ой х, в оз в еде н ной в некоторую целую степень, например f(x 2 ),f(x з ) или /( л - 4 ). Эта целая степень задает “порядок” модулярного уравнения. Простейшим модулярным уравнением является уравнение 2-го порядка f(x )= 2\ / /U 2 )/[1 +/( л- 2 )]. Конечно, не всякая функция удовлетворяет какому-нибудь модулярному уравнению. Но существует класс функций, обладающих этим свойством. Они называются модулярными функциями. Кроме того, модулярное уравнение выполняется только при определенных з начениях х, а именно тех, которые являются “решениями” данного уравнения.

Рамануджан не имел себе равных в умении “откапывать” решения модулярных уравнений, удовлетворяющие также некоторым другим условиям. Такие решения называются сингулярными. Оказывается, поиски сингулярных решений в некоторых случаях приводят к числам, натуральные логарифмы которых совпадают с тг (умноженным на константу) в поразительно большом числе десятичных знаков. Виртуо з но пользуясь этим общим приемом, Рамануджан построил для приближения т г много замечательных бесконечных рядов и одночленных формул. Некоторые из них приведены в его единственной формальной статье на эту тему “Модулярные уравнения и приближения к т г”, опубликованной в 1914 г.

Своими попытками вычислить v Рамануджан отдал дань древней традиции. Уже в самых ранних индо-европейских цивилизациях было известно, что площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса, а длина окружности пропорциональна ее диаметру. Правда, не совсем ясно, когда впервые было осознано, что отношение длины любой окружности к ее диаметру и отношение площади любого круга к квадрату его радиуса равны одной и той же постоянной,которую принято обозначать символом т. (Сам этот символ был введен гораздо позднее — в 1706 г. английским математиком-любителем Уильямом Джонсоном и стал широко употребляться благодаря поддержке крупней-